טריגונומטריה
תמונה שמתארת שימוש בטריגונומטריה מתוך ספרלמתמטיקה"Manuale Mathematicum"משנת1617
טריגונומטריה
מקור המילה"טריגונומטריה"בא מהשפה היוונית.
פירוש המילהτρίγωνον (טריגונון)הוא משולש,
ופירוש המילהμέτρον (מטרון)הוא מדידה.
הטריגונומטריה נולדה כענף של הגיאומטריה,לצורךשימושים בגיאוגרפיה ובאסטרונומיה.
טריגונומטריה
חיתוך עץ משנת1667המתאר מדידת שטח.
טריגונומטריה
לאוקלידס )365–275 לפנה"ס), שאסף ביצירתו "היסודות" את הידע המתמטי מתקופתו, היו מוכרים שני משפטים רלוונטיים לחישוב משולשים: משפט פיתגורס 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 ⟺𝛾= 90 𝑜 משפט סכום הזוויות במשולש: 𝛼+𝛽+𝛾= 180 𝑜
טריגונומטריה
מאוחר יותר נעזרו היפרכוס(120-190לפנה"ס)ותלמי(פטולמאיוס קלאודיוס, 165-85לספירה)בטבלאות שערכיהן קשורות למה שנקרא היום סינוס.
שאלות
בהמשך מופיעות כמה בעיות של משולשים. החליטו אם אפשר לפתור אותן רק בעזרת משפט פיתגורס ומשפט סכום הזוויות לבד, או שיש להיעזר בכלים נוספים. התשובות בשקף הבא. אורך כל הצלעות במשולש הוא 6 ס"מ. מהן הזוויות במשולש? אורכי הצלעות של משולש הם 5, 6 ו-7 ס"מ. מהן הזוויות במשולש? נתונות שתי צלעות משולש שאורכן 3 ו-4 ס"מ. הזווית ביניהן היא 90°. חשבו את אורך הצלע השלישית.
פתרונות
אורך כל הצלעות במשולש הוא 6 ס"מ. מהן הזוויות במשולש? כל הזוויות הן של 60°. כיוון שכל הצלעות שוות זו לזו, גם כל הזוויות שוות וגודלן הוא   . 180 𝑜 3 = 60 𝑜 אורכי הצלעות של משולש הם 5, 6 ו-7 ס"מ. מהן הזוויות במשולש? במשולש הזה אין זווית ישרה ואין סימטריה מיוחדת. אי אפשר לפתור את הבעיה ללא כלים נוספים. נתונות שתי צלעות משולש שאורכן 3 ו-4 ס"מ. הזווית ביניהן היא .90° חשבו את אורך הצלע השלישית. אורך הצלע השלישית שווה ל-5 ס"מ: .3 2 + 4 2 = 5 2
תרגיל
אורך היתר של משולש ישר זווית שווה ל-1. גודל אחת הזוויות במשולש הוא 30° . חשבו את אורכי הניצבים. יש להיעזר במשפט פיתגורס בלבד. אין להיעזר בפונקציות טריגונומטריות.
רמז ופתרון
רמז נוסף(הקליקו):
פתרון(הקליקו):
הקטע 𝑥 מחלק משולש שווה צלעות לשני חלקים זהים זה לזה וזהים למשולש הנתון. לכן, 𝑦= 1 2
𝑥 2 =1− 1 2 2 = 3 4 ⟺𝒙= 𝟑 𝟐
רמז  ראשון:
משפט30:60:90
במשולש ישר זווית,הניצב מול זווית של30מעלותשווה למחצית היתר.
תרגיל
קטע באורך 12 משותף לשני משולשים שאורכי צלעותיהם הם 5, 12, 13 ו-9, 12, 15. היעזרו בעובדה זו כדי לחשב את השטח של משולש שאורכי צלעותיו הם 13, 14 ו-15. אין להיעזר בפונקציות טריגונומטריות.
רמז
קטע באורך 12 משותף לשני משולשים שאורכי צלעותיהם הם 5, 12, 13 ו-9, 12, 15. היעזרו בעובדה זו כדי לחשב את השטח של משולש שאורכי צלעותיו הם 13, 14 ו-15. אין להיעזר בפונקציות טריגונומטריות.
פתרון
קטע באורך 12 משותף לשני משולשים שאורכי צלעותיהם הם 5, 12, 13 ו-9, 12, 15. היעזרו בעובדה זו כדי לחשב את השטח של משולש שאורכי צלעותיו הם 13, 14 ו-15. אין להיעזר בפונקציות טריגונומטריות. פתרון: שטח המשולש הנתון שווה לסכום שטחי המשולשים A ו-B. לכן השטח הוא 1 2 5∙12 + 1 2 9∙12 =𝟖𝟒
A
B
משולש חד זווית
משולש חד זווית הוא משולש שבו שלוש הזוויות חדות (קטנות מ-90°). מתקיים בו אי-השוויון 𝑐 2 < 𝑎 2 + 𝑏 2
(הקליקו על המלבן הכחול.)
משולש קהה זווית
משולש קהה זווית הוא משולש שבו אחת הזוויות קהה (גדולה מ-90°). מתקיים בו אי-השוויון 𝑐 2 > 𝑎 2 + 𝑏 2
(הקליקו על המלבן הכחול.)
סיווג משולשים-שאלות
לפניכם שלשות מספרים המייצגים אורכי צלעות. החליטו איזה סוג משולש מתואר בכל שלשה. 10, 12, 14 4, 7, 9 1, 2, 3 3, 6, 8 4, 5, 6
לפניכם שלשות מספרים המייצגים אורכי צלעות. החליטו איזה סוג משולש מתואר בכל שלשה. 10, 12, 14 – חד זווית 4, 7, 9 – קהה זווית 1, 2, 3 – אין זה משולש! 1+2=3 3, 6, 8 – קהה זווית 4, 5, 6 – חד זווית
סיווג משולשים-פתרונות
הצג
הצג
החבא
החבא
הצג
הצג
הצג
הצג
הצג
הצג
החבא
החבא
החבא
החבא
החבא
החבא
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
הקליקו
סיכום
•בטריגונומטריה לומדים על משולשים ותכונותיהם.
•במקור שימשה הטריגונומטריה לאסטרונומיה ולגיאודזיה(מדידת פני כדור הארץ).
•רק חלק מבעיות הטריגונומטריה אפשר לפתור בעזרתמשפט פיתגורס,סכום הזוויות במשולש ומשפט30:60:90.
•כדי להגדיל את מגוון הבעיות שאפשר לפתור,נוסיףבהמשך את פונקציות הסינוס,הקוסינוס והטנגנס.
•מבחינים בין שלושה סוגי משולשים:ישרי זווית,קהיםוחדים.